Для решения этой задачи посчитаем силу Архимеда, действующую на стакан.
1. Сила Архимеда определяется по формуле ФАрх = ρж cб Vст, где ρж - плотность воздуха, cб - ускорение свободного падения, Vст - объём стакана.
2. ФАрх считаем это равным весу стакана ФСт, так как стакан находится в равновесии: ФАрх = ФСт = mст г = ρстVг = ρстVстг. Здесь mст - масса стакана, объёмом Vст, а ρст - плотность стекла (стакана).
3. Объём стекла Vст = π (r2ст - (rст - x)2) hст, где rст - внешний радиус стакана, x - глубина погружения дна стакана, hст - глубина стакана.
4. Подставим выражение для объёма стекла Vст в формулу для силы Архимеда и найдём глубину погружения дна стакана.
5. Если стакан начал тонуть, то его плотность стала больше плотности вещества, в котором он находится. Плотность вещества равна m1/Vст. Поэтому m1 = ρстVст + Δm, где Δm - некоторая масса, которую можно считать добавленной. Δm можно считать равной массе воды, которую стакан смог вместить в себя при полном погружении дна.
6. Подставим полученные значения в формулу силы Архимеда и найдём предельное значение массы стакана.
7. Давление воздуха в плавающем стакане равно давлению воды на глубине h2.
8. Подставим полученные значения в формулу давления (теорему Паскаля) и найдём высоту воздушного столбика.
Итак, по порядку.
1. На какую глубину (x) необходимо погрузить дно стакана, чтобы он начал тонуть.
Объем стекла Vст = π (r2ст - (rст - x)2) hст
Тогда сила Архимеда ФАрх = ρж cб Vст
ФАрх должен быть равен весу стакана ФСт:
ФАрх = ФСт = mст г = ρстVг = ρстVстг,
где mст - масса стакана, объёмом Vст, а ρст - плотность стекла (стакана).
Таким образом, ρж cб Vст = ρстVстг,
откуда ρж cб = ρстg.
Vст по формуле Vст = π (r2ст - (rст - x)2) hст,
поэтому ρж cб = ρстg / (π (r2ст - (rст - x)2) hст).
Подставляем значения:
hст = 0.12 см = 0.0012 м,
rст = 0.032 м,
r2ст = 0.0322 м,
ρст = mст / Vст = 345.4 г / 0.0000612 м3 = 5.646 г/см3 = 5646 кг/м3,
g = 9.8 м/с2,
получаем:
ρж cб = 5646 кг/м3 * 9.8 м/с2 / (π (0.0322 - (0.032 - x)2) * 0.0012 м) = 51970 / ((0.0322 - (0.032 - x)2) * 0.0012).
Таким образом, уравнение для глубины x имеет вид:
51970 / ((0.0322 - (0.032 - x)2) * 0.0012) = ρж cб.
Вычислив правую часть уравнения, получим:
51970 / (0.0322 - (0.032 - x)2) * 0.0012) = 5646 * 9.8.
51970 / (0.0322 - (0.032 - x)2) * 1.44 * 10^(-5) = 5646 * 9.8.
(0.0322 - (0.032 - x)2) = 51970 / (5646 * 9.8 * 1.44 * 10^(-5)).
(0.0322 - (0.032 - x)2) = 9.9.
0.0322 - (0.032 - x)2 = 9.9.
Раскрывая скобки:
0.0322 - (0.0322 - 0.064x + x2) = 9.9.
0.0322 - 0.0322 - 0.064x + x2 = 9.9.
x2 - 0.064x - 9.8678 = 0.
Решаем полученное квадратное уравнение:
x = (0.064 ± √(0.0642 + 4*9.8678)) / 2.
x = (0.064 ± √(0.0642 + 39.4712)) / 2.
x = (0.064 ± √(39.5354)) / 2.
x = (0.064 ± 6.2899) / 2.
x = (0.064 + 6.2899) / 2 = 6.3539 / 2 = 3.1769.
x = (0.064 - 6.2899) / 2 = -6.2259/ 2 = -3.11295.
Ответ: необходимо погрузить дно стакана на глубину x ≈ 3.1769 см.
2. Каким будет в этот момент давление воздуха в стакане (P).
Давление воздуха в стакане равно давлению воды на глубине h2.
h2 = h - x = 12 см - 3,1769 см = 8.8231 см = 0.088231 м.
Давление воды P = ρж cб g h2.
P = ρж cб g h2 = 5646 кг/м3 * 9.8 м/с2 * 0.088231 м = 4949 Па ≈ 4949 Н/м2.
Ответ: давление воздуха в этот момент в стакане P ≈ 4949 Па ≈ 4949 Н/м2.
3. Предельное значение массы стакана (m1), при которой он останется на плаву, если его аккуратно опустить в воду вверх дном.
Предельное значение массы стакана m1 будет равно массе стакана mст, при которой он начинает тонуть, плюс масса воды Δm, которую стакан был способен вместить при полном погружении дна.
m1 = mст + Δm.
Масса воды Δm равна объему воды Vвод, который стакан был способен вместить.
Vвод = π rст2 h2.
Подставляем значения:
rст = 0.032 м,
h2 = 0.088231 м.
Vвод = π * 0.0322 * 0.088231 ≈ 0.00009042 м3.
Масса воды Δm = ρж Vвод.
Δm = 1000 кг/м3 * 0.00009042 м3 = 0.09042 кг = 90.42 г.
Тогда предельное значение массы стакана m1 = mст + Δm = 345.4 г + 90.42 г = 435.82 г.
Ответ: предельное значение массы стакана m1 ≈ 435.82 г.
4. Какой будет высота воздушного столбика (h2) в плавающем стакане в этом случае.
Давление воздуха в стакане равно давлению воды на глубине h2.
h = hст + h2.
h2 = h - hст = 12 см - 8.8231 см = 3.1769 см = 0.031769 м.
Ответ: высота воздушного столбика в плавающем стакане h2 ≈ 0.031769 м.
Напишите нам, если в вопросе есть ваши персональные данные:
[email protected]
